Urodził się  15 listopada 1973 w Warszawie. Jest najbardziej utytułowanym wioślarzem w historii polskiego wioślarstwa. Jest dwukrotnym złotym medalistką olimpijskim - zdobył złote medale (w osadzie z Tomaszem Kucharskim) na Igrzyskach Olimpijskich w Sydney w 2000 roku  i Atenach 2004.

Karierę sportową rozpoczął w Szkolnym Wojewódzkim Ośrodku Sportowym nr 2 w Warszawie (1986−1995). Przez kolejne lata swojej kariery sportowej związany był z Bydgoszczą - reprezentował kluby Zawisza Bydgoszcz (1996−1998) i LOTTO-Bydgostię Bydgoszcz (1999−2012). 

Na igrzyskach olimpijskich debiutował w 1996 w Atlancie. Razem z Tomaszem Kucharskim wywalczył dwa złote medale na kolejnych igrzyskach olimpijskich w Sydney w 2000 roku i w Atenach w 2004 roku w wioślarskiej dwójce podwójnej kategorii lekkiej. Para ta zdobyła też dwukrotnie mistrzostwo świata (1997, 1998) i trzykrotnie wicemistrzostwo (2001, 2002, 2003). Szósty (brązowy) medal mistrzostw świata Robert Sycz wywalczył w 2005 wraz z Pawłem Rańdą. Na mistrzostwach Polski zdobył 54 medale w wioślarstwie (w tym 35 złotych). Karierę zawodniczą zakończył w 2012. Pracuje nadal w Lotto - Bydgostii jako trener. 

Robert Sycz odznaczony został Krzyżem Kawalerskim (2000) i Krzyżem Oficerskim (2004) Orderu Odrodzenia Polski. W 2012 otrzymał tytuł „Superczempiona” w Plebiscycie „Przeglądu Sportowego” na najlepszego sportowca roku (wraz z Mateuszem Kusznierewiczem).

W rywalizacji krajowej o mistrzostwo Polski w różnych kategoriach łodzi Robert Sycz wywalczył 54 medale, w tym: 35 złotych, 14 srebrnych, 5 brązowych.

Robert Sycz zdobył aż 14 razy (w  latach 1999-2012) tytuł Drużynowego Mistrza Polski w barwach LOTTO-Bydgostii Bydgoszcz.